ความสัมพันธ์และฟังก์ชั่น

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียน

แทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง(การเท่ากับของคู่อันดับ)

(a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1.     โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความ

สัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น  Dr = {x | (x, y) ε r}

2.      เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความ

สัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น  Rr = {y | (x, y) ε r}

ลักษณะของความสัมพันธ์	วิธีหาโดเมน	วิธีหาเรนจ์
เซตแบบแจกแจงสมาชิก	พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r	พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
เซตแบบบอกเงื่อนไข	เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด y ให้อยู่ในรูป x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข
กราฟ	พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ	พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1

เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามี

สมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน

                                 

หรือฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิก

ตัวหน้าเท่ากัน  สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ 

(x, y2) ε f แล้ว  y1 = y2

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็น

ฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้

วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x, y)  และมีเงื่อนไข  r(x, y)

  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(x, y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้

1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน

2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)

สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y)  และ  r(x, z) พิจารณา

1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน

2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ

กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา

1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน

2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมี

ความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็น

ฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ 

เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(x, y) | y = 2x + 1}          เป็นต้น

2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้

เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 

ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า 

“กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวังพีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)

- ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)

- ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

กำหนดให้ A และ B เป็นเซต

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ

1)    f เป็นฟังก์ชัน

2)    Df = A

3)    Rf  ε B

สัญลักษณ์      f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B  อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ

1)    f เป็นฟังก์ชัน

2)    Df = A

3)    Rf = B